درسنامه آموزشی فصل پنجم ریاضی (3) کلاس دوازدهم علوم تجربی
درس 1: اکسترممهای تابع
یکنوایی تابع و ارتباط آن با مشتق
در فصل اول، تعریف تابع صعودی و تابع نزولی را دیدیم. در اینجا میخواهیم ارتباط علامت مشتق یک تابع را با صعودی یا نزولی بودن آن تابع بررسی کنیم.
فعالیت (صفحه 102 تا 103 کتاب درسی)
جدول زیر را در نظر بگیرید. در این جدول ضابطه و نمودار چند تابع ارائه شده است که از قبل با آنها آشنا هستیم. همچنین یکنوایی این تابعها مورد بررسی قرار گرفته است. به علاوه، مشتق هر کدام از این تابع ها، تعیین علامت شده است. جدول را کامل کنید.
| علامت مشتق | تابع مشتق | یکنوایی تابع | نمودار تابع | ضابطهٔ تابع |
| $f'$ همواره مثبت است | $f'(x) = 2$ | تابع $f$ در $\mathbb{R}$ اکیداً صعودی است |
|
$f(x) = 2x - 1$ |
| $g'$ همواره ... است | $g'(x) = - 1$ | تابع $g$ در $\mathbb{R}$ اکیداً ... است |
|
$g(x) = - x + 1$ |
| $h'$ در $(0, + \infty )$ ... است | $h'(x) = \frac{1}{{2\sqrt x }}$ | تابع $h$ در $\left[ {0, + \infty } \right)$ اکیداً صعودی است |
|
$h(x) = \sqrt x $ |
| $u'$ در $(0, + \infty )$، همواره ... | $u'(x) = ...$ | تابع $u$ در $\left[ {0, + \infty } \right)$ اکیداً ... است |
|
$u(x) = - \sqrt x $ |
| $k'$ در $( - \infty ,0)$ منفی و در $(0, + \infty )$ ...... است. | $k'(x) = 2x$ | تابع $k$ در $( - \infty ,0)$ اکیداً نزولی و در $(0, + \infty )$ اکیداً صعودی است. |
|
$k(x) = {x^2}$ |
| $l(x) = ...$ |
با بررسی جدول بالا، توضیح دهید که چه رابطهای بین علامت مشتق تابع در یک بازه و یکنوایی تابع در آن بازه وجود دارد.
کار در کلاس (صفحه 103 کتاب درسی)
از فصل قبل میدانیم که مشتق هر تابع در یک نقطه، با شیب خط مماس بر نمودار تابع در آن نقطه برابر است. تابع زیر را در نظر بگیرید:
ملاحظه میشود که:
الف) در بازهٔ (1,7) که $f$ اکیداً صعودی است، شیب خطهای مماس بر نمودار $f$، مثبت است؛ بنابراین در این بازه علامت $f'$ .... است.
ب) در بازهٔ (7,12) که تابع اکیداً نزولی است، شیب خطهای مماس بر نمودار $f$، ..... است؛ بنابراین در این بازه علامت $f'$ .... است.
پ) در بازه $(12, + \infty )$ که تابع، مقدار ثابت دارد، مقدار $f'$ برابر ..... است.
مطلب فوق برای توابع مشتقپذیر همواره درست است که آن را به شکل زیر بیان میکنیم:
بنابراین برای مشخص کردن بازههای مربوط به صعودی بودن یا نزولی بودن تابع $f$، کافی است مانند مثال زیر، $f'$ را تعیین علامت کنیم.
مثال: تابع $f(x) = {x^3} - 3x$ در چه بازههایی اکیداً صعودی و در کدام بازهها اکیداً نزولی است؟
حل: $f'$ را بهدست آورده و آن را تعیین علامت میکنیم.
$f'(x) = 3{x^2} - 3$
$f'(x) = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
x = - 1 \hfill \\
x = 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.$
نمودار تابع $f$ مربوط به مثال قبل را رسم کردهایم. آن را با جدول مقایسه کنید.
اکسترممهای نسبی تابع
در نمودار این تابع، نقاط به طول 1- و 1 را که صفرهای تابع $f'$ هستند مورد توجه قرار دهید. اهمیت این نقاط در این مثال از این جهت است که در هر یک از آنها، رفتار تابع از نظر صعودی یا نزولی بودن عوض شده است (جدول ملاحظه شود). اگر این دو نقطه را به ترتیب $A$ و $B$ بنامیم، آنگاه $A$ نقطهٔ ماکزیمم نسبی $f$ و $B$ نقطهٔ مینیمم نسبی آن است.
همچنان که گفته شد، تابع مثال قبل در نقطهٔ $A( - 1,2)$ ماکزیمم نسبی دارد و مقدار ماکزیمم نسبی تابع برابر 2 میباشد. مینیمم نسبی به روش مشابه تعریف میشود.
در مثال قبل مقدار مینیمم نسبی تابع چقدر است؟
تذکر: نقاط ماکزیمم و مینیمم یک تابع را نقاط اکسترمم آن تابع هم میگوییم. در تابع مثال قبل، نقاط $A$ و $B$ اکسترممهای نسبی تابع هستند.
کار در کلاس (صفحه 105 کتاب درسی)
نوع اکسترممهای نسبی هر یک از توابع زیر را در نقاط مشخص شده تعیین کنید و جدولها را کامل کنید.
$f(x) = \left| {\left| x \right| - 2} \right|,x \in \left[ { - 5,3} \right]$ (الف
| نقطه | نوع اکسترمم نسبی | مقدار اکسترمم نسبی | مقدار مشتق |
| $A$ | نه $\max $ نسبی و نه $\min $ نسبی | - | - |
| $B$ | $\min $ نسبی | 0 | $f'( - 2)$ موجود نیست |
| $C$ | ... | 2 | ... |
| $D$ | ... | ... | ... |
| $E$ | ... | - | - |
$g(x) = - {x^2} - 1\,\,\,\,\,\,x \in \left[ { - 1,2} \right]$ (ب
| نقطه | نوع اکسترمم نسبی | مقدار اکسترمم نسبی | مقدار مشتق |
| $A$ | نقطه اکسترمم نسبی نیست | - | - |
| $B$ | $\max $ نسبی | ... | $f'(0)$ برابر صفر است |
| $C$ | ... | - | - |
نقاط بحرانی تابع
حال این سؤال پیش میآید که در چه نقاطی از دامنهٔ تابع $f$ باید به دنبال اکسترممهای نسبی آن باشیم؟ همانگونه که در تابعهای قبلی دیده میشود، جواب عبارت است از نقاطی از دامنه $f$ که $f'$ در آنها تعریف نشده باشد و همچنین نقاطی که مقدار $f'$ در آنها برابر صفر است. به لحاظ اهمیت این دو دسته از نقاط، شایسته است که نامی برای خود داشته باشند؛ آنها را نقاط بحرانی تابع مینامیم:
نقاط ماکزیمم نسبی و مینیمم نسبی تابع زیر را درنظر بگیرید. دیده میشود که خط مماس بر نمودار $f$ در این نقاط بهصورت افقی، یعنی با شیب صفر است. از آنجا که مشتق تابع در یک نقطه، برابر شیبخط مماس بر منحنی تابع در آن نقطه است، لذا در این تابع داریم:
$f'(6) = 0\,\,\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,\,\,\,\,f'(9) = 0$
این مطلب در مورد نقاط اکسترمم نسبی هر تابع مشتقپذیر، درست است. قضیه زیر را در این مورد بیان میکنیم.
کار در کلاس (صفحه 107 کتاب درسی)
1) الف) با رسم نمودار تابع $f(x) = \left| {x - 2} \right|$، نشان دهید که $f$ در $x = 2$ مینیمم نسبی دارد.
ب) آیا $f'(2)$ موجود است؟ چرا؟
پ) آیا $x = 2$ طول نقطهٔ بحرانی تابع است؟ چرا؟
2) نمودار تابع $f(x) = - {x^2} + 3x$ را رسم کردهایم.
الف) طولهای نقاط اکسترمم نسبی $f$ را تعیین کنید.
ب) میدانیم این تابع در $\mathbb{R}$ مشتقپذیر است. ریشههای معادلهٔ $f'(x) = 0$، یعنی طولهای نقاط بحرانی تابع را بهدست آورید.
پ) با توجه به الف و ب، درستی قضیه قبل را در مورد این تابع بررسی کنید.
3) تابع با ضابطهٔ $f(x) = - {x^2} + 2x + 2$ را در نظر بگیرید. $f$ همواره مشتقپذیر است.
الف) $f'(x)$ را بهدست آورید.
ب) ریشهٔ معادلهٔ $f'(x) = 0$ را محاسبه کنید تا طول نقاط بحرانی تابع بهدست آید.
پ) با رسم نمودار سهمی، تحقیق کنید که آیا نقطهٔ اکسترمم $f$ منطبق بر نقطهٔ بحرانی آن است؟
از مثالهای قبل، این سؤال مطرح میشود که آیا صفرهای تابِع مشتق، همواره طول نقاط اکسترمم نسبی تابع را بهدست میدهند؟ با وجود آنکه جواب این سؤال در مورد برخی از تابعهای مورد بحث ما مثبت است، مثال زیر نشان میدهد که این مطلب همیشه هم درست نیست. بهعبارت دیگر، عکس قضیه قبل در حالت کلی درست نیست.
مثال: به نمودار تابع $f(x) = {(x - 1)^3}$ دقت کنید. تابِع مشتقِ این تابع بهصورت $f'(x) = 3{(x - 1)^2}$ است. با وجود آنکه مقدار $f'(x)$ در $x = 1$ برابر صفر است، امّا با توجه به نمودار $f$، دیده میشود که نقطهٔ به طول 1 برای این تابع نه ماکزیمم نسبی است و نه مینیمم نسبی. دلیل این مطلب، آن است که $f'$، قبل و بعد از $x = 1$ همواره مثبت است؛ بهعبارت دیگر، $f$ در $\mathbb{R}$ اکیداً صعودی است و لذا نمیتواند اکسترمم نسبی داشته باشد.
تذکر: مثال بالا نشان میدهد که عکس قضیهٔ قبل در حالت کلی درست نیست. در واقع نقطهٔ $A$ بهطول $x = 1$ برای تابع $f(x) = {(x - 1)^3}$ یک نقطهٔ بحرانی است، اما اکسترمم نسبی آن نیست. شما یک مثال نقض دیگر برای عکس این قضیه ارائه کنید که نشان دهد یک نقطهٔ بحرانی لزوماً اکسترمم نسبی نیست.
کار در کلاس (صفحه 108 کتاب درسی)
1) جدول تغییرات تابع $f(x) = - {x^2} - 2x$ در زیر آمده است که در آن با تعیین علامت $f'$، بازههایی که تابع $f$ در آنها صعودی است و همچنین بازههایی که نزولی میباشد، تعیین شده است. همچنین، اکسترمم نسبی تابع در جدول مشخص شده است:
$f'(x) = - 2x - 2$
طول نقطهٔ بحرانی $f'(x) = 0 \to x = - 1$
با توجه به جدول، مشخص است که نقطهٔ به طول (1-)، ماکزیمم نسبی تابع است؛ چرا که رفتار تابع در این نقطه از صعودی اکید به نزولی اکید تغییر کرده است. با توجه به جدول و در صورت لزوم با یافتن نقاط دیگری از تابع، نمودار آن را رسم کنید.
2) جدولی مشابه جدول بالا برای تابع $g(x) = {x^3} - 3{x^2}$ رسم کنید که نقاط اکسترمم نسبی تابع در آن مشخص شده باشد.
مثالهای بالا از توابع پیوسته، این مطلب را القا میکنند که تغییر رفتار اینگونه تابعها در یک نقطه از صعودی بودن به نزولی بودن، نشان دهندهٔ نقطهٔ ماکزیمم نسبی آن تابع است. برای مینیمم نسبی هم میتوان مطلب مشابهی را بیان کرد که در ادامه آمده است.
درستی آزمون مشتق اول را در همسایگی نقطهٔ $c$ در هر یک از نمودارهای زیر مورد توجه قرار دهید.
اکسترممهای مطلق تابع
فعالیت (صفحه 109 کتاب درسی)
نمودار زیر نشان دهنده تغییرات دمایی برای یک شهر در طی 24 ساعت است.
الف) تابع مقابل در چه نقاطی ماکزیمم نسبی دارد؟
ب) مقادیر ماکزیمم نسبی تابع کداماند؟
پ) تابع در چه نقاطی مینیمم نسبی دارد؟
ت) مقادیر مینیمم نسبی تابع کداماند؟
با توجه به نمودار، دیده میشود که دمای هوا در ساعت 14 بیشترین مقدار و برابر با 35 درجه سانتیگراد بوده است. در این حالت میگوییم، نقطهٔ $D(14,35)$ ماکزیمم مطلق تابع است و مقدار ماکزیمم مطلق تابع برابر 35 میباشد. نقطهٔ مینیمم مطلق این تابع و همچنین مقدار مینیمم مطلق آن را بنویسید.
در تابع صفحه قبل، اکسترممهای مطلق تابع $f$ یعنی نقاط $A$ و $D$، به ترتیب نقاط مینیمم مطلق و ماکزیمم مطلق تابع هستند.
کار در کلاس (صفحه 110 کتاب درسی)
1) با تکمیل جدول زیر، اکسترممهای مطلق و نسبی تابع زیر و همچنین نقاط بحرانی آن را در نقاط مشخص شده تعیین کنید.
| 9 | 8 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | طول نقطه |
| + | - | - | - | - | $\max $ مطلق | ||||
| - | - | - | - | - | $\min $ مطلق | ||||
| - | - | + | - | - | $\max $ نسبی | ||||
| - | - | + | + | - | $\min $ نسبی | ||||
| + | + | + | + | + | نقطهٔ بحرانی |
2) به کمک رسم نمودار تابع، مقادیر اکسترمم نسبی و مطلق تابعهای زیر را در صورت وجود تعیین کنید.
$t(x) = {x^3};x \in \left[ { - 2,1} \right]$ (الف
$g(x) = - {x^2};x \in \left[ { - 2,3} \right]$ (ب
$u(x) = \frac{1}{x}$ (پ
فعالیت (صفحه 111 کتاب درسی)
تابع $f(x) = \left| {{x^2} - 1} \right|$ را در بازهٔ $\left[ { - 2,3} \right]$ رسم کنید و با توجه به نمودار، نقاط اکسترمم مطلق را تعیین کنید.
در فعالیت قبل دیده میشود که تابع پیوستهٔ $f(x) = \left| {{x^2} - 1} \right|$ در بازهٔ بستهٔ $\left[ { - 2,3} \right]$ هم ماکزیمم مطلق دارد و هم مینیمم مطلق که این مطلب همواره درست است. همچنین مشاهده میشود که نقاط اکسترمم مطلق، در نقاط بحرانی تابع یا نقاط انتهایی بازه واقعاند. این موضوع نیز همواره درست است.
قضیهٔ فوق، تنها وجود اکسترمم های مطلق توابع پیوسته را در بازههای بسته تضمین میکند و به روش یافتن این نقاط اشارهای ندارد. مراحل یافتن اکسترممهای مطلق تابع پیوسته $f$ در بازهٔ بستهٔ $\left[ {a,b} \right]$ بهشرح زیر است:
مثال: نقاط اکسترمم مطلق تابع $f(x) = 2{x^3} + 3{x^2} - 12x$ را در بازهٔ $\left[ { - 1,3} \right]$ تعیین کنید.
حل: ابتدا به کمک $f'$، نقاط بحرانی تابع را بهدست میآوریم.
$f'(x) = 6{x^2} + 6x - 12$
$f'(x) = 0 \Rightarrow {x^2} + x - 2 = 0$
$ \Rightarrow (x + 2)(x - 1) = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
x = - 2 \hfill \\
x = 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.$
بنابراین نقاط به طول $3,1, - 1$ نقاط بحرانی $\left[ { - 1,3} \right]$ است.
| 3 | 1 | 1- | $x$ |
| 45 | 7- | 13 | $f(x)$ |
با توجه به جدول، دیده میشود که بزرگترین مقدار برای تابع در بازهٔ $\left[ { - 1,3} \right]$ برابر 45 و کوچکترین مقدار، مساوی 7- اس. به همین دلیل، این دو مقدار به ترتیب مقادیر ماکزیمم مطلق و مینیمم مطلق تابع در این بازهاند.
تمرین (صفحه 112 کتاب درسی)
1) بزرگترین بازه از $\mathbb{R}$ که تابع $f(x) = {x^3} - 12x + 4$ در آن نزولی اکید باشد، کدام است؟ چرا؟
2) با تشکیل جدول تغییرات تابع $g(x) = \frac{1}{{{x^2} + 1}}$، مشخص کنید تابع در چه بازههایی صعودی اکید و در کدام بازهها نزولی اکید است؟
3) نقاط بحرانی توابع زیر را در صورت وجود بهدست آورید.
$f(x) = \sqrt {4 - {x^2}} $ (الف
$g(x) = {x^3} + 3{x^2} - 4$ (ب
$h(x) = \sqrt[3]{x}$ (پ
4) در هر یک از توابع زیر، ابتدا نقاط بحرانی تابع را بهدست آورید و سپس با رسم جدول تغییرات تابع، نقاط ماکزیمم نسبی و مینیمم نسبی آن را در صورت وجود مشخص کنید.
$f(x) = {x^3} + 3{x^2} - 9x - 10$ (الف
$g(x) = - 2{x^3} + 3{x^2} + 12x - 9$ (ب
$h(x) = - {x^3} - 3x + 2$ (پ
5) مقادیر ماکزیمم مطلق و مینیمم مطلق توابع زیر را در بازههای مشخص شده، در صورت وجود بهدست آورید.
$f(x) = - 2{x^3} + 9{x^2} - 13\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x \in \left[ { - 1,2} \right]$ (الف
$g(x) = {x^3} + 2x - 5\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x \in \left[ { - 2,1} \right]$ (ب
6) اگر نقطهٔ $(2,1)$، نقطهٔ اکسترمم نسبی تابع $f(x) = {x^3} + b{x^2} + d$ باشد، مقادیر $b$ و $d$ را بهدست آورید.
7) نمودار تابعی مانند $f$ با دامنه $\mathbb{R}$ را رسم کنید بهطوری که هر نقطهٔ دلخواه از ${D_f}$، یک نقطهٔ بحرانی $f$ باشد. مسئله چند جواب دارد؟